Силы в конденсторе

Анализ сил, действующих в  плоском конденсаторе.

По материалам моей дискуссии на Мембране с AID’ом,

далее именуемым Оппонентом.

1.      С чего началась дискуссия?

  Дискуссия, как это часто быавет, началась с довольно простого на первый взгляд вопроса. В этот раз вопрос был задал именно Оппонентом.

   Оппонент : Господа, вот столкнулся с вопросом по теме. Как найти силу взаимодействия пластин  конденсатора? Ясно, что напряженность одной пластины на заряд другой. Однако, какую брать напряженность - в диэлектрике или в вакууме? Логика говорит, что надо брать в вакууме, т.к. пластины-то снаружи диэлектрика и не должен заряд диэлектрика влиять на внешние пластины.
А в одной методице нашел задачу, где они берут напряженность в диэлектрике. И естественно силу получают в эпсилон раз меньше, чем я. Кто прав?

Затем последовал обмен репликами:

Ark: Диэлектрик ослабляет эл. поле в эпсилон раз. Если взять заряженный конденсатор, в котором вакуум, и ввести в зазор диэлектрик, емкость конденсатора увеличится в эпс. раз, во столько же раз уменьшится напряжение между обкладками, во столько же раз уменьшится сила взаимодействия между обкладками. (диэлектрик для этого должен заполнять весь зазор...)
   Оппонент : А вот это мне и кажется сомнительным. Сила, в отличие от разности потенциалов - характеристика в точке. А если будет 2 диэлектрика - 1 прилегает к одной пластине, другой - ко второй. Тогда будет разная напряженность вблизи каждой пластины. Причем даже каждая отдельная пластина будет создавать вблизи другой пластины напряженность, не равную напряженности, создаваемой вблизи первой пластины второй.
Если теперь считать силу взаимодействия как напряженность на заряд, а заряды у пластин не изменились, то получим, что F1 < >F2.

Именно здесь был заложен фундамент напряженной и длительной дискуссии, в которой в пришлось развязывать тугой узел проблем как из области механики, так и из области электричества...

    2. Что делать в конденсаторе Архимеду?

    В качестве неопровержимого, на мой взгляд, аргумента я привел конденсатор, заполненный жидким диэлектриком. В таком конденсаторе сила, действующая между обкладками уменьшается точно так же, как и сила взаимодействия между точечными зарядами в соответствующей среде. Однако с некоторым удивлением я обнаружил, что и тут не все так просто. Проблема эта уже обсуждалась и кем-то было найдено довольно странное, на мой взгляд, решение. Вот как ответил мне Оппонент:

   Оппонент : Панковский и Филипс пишут: "...если при погружении системы в диэлектрическую жидкость сохраняются заряды, то все механические силы уменьшаются в эпсилон раз...Рассмотрим 2 параллельные проводящие пластины, между которыми введен слой твердого диэлектрика...2 слоя поляризационных зарядов создают на каждой пластине конденсатора равные и противоположно направленные поля, и поэтому эти поля взаимно уничтожаются...Пока диэлектрик не касается пластин конденсатора, сила взаимодействия оказывается прежней.
Следовательно, уменьшение силы происходящее при ПОГРУЖЕНИИ ПЛАСТИН В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКУЮ ЖИДКОСТЬ, которая окружает их со всех сторон, не может быть объяснено только электрическими силами. Этот очевидный парадокс решается, если принять во внимание разность давлений в жидкости между точками, лежащими в поле, и точками вне пластин конденсатора, где поле отсутствует...В целом сумма сил, обуслоленных этой разностью давлений, и чисто электрических сил дает полную силу...Т.о. уменьшение силы взаимодействия между 2 зарядами при помещении их в диэлектрическую жидкость можно понять только при учете давления, оказываемого жидкостью на эти заряды. "

Выводы. Уменьшение взаимодействия в жидкости практически аналогично уменьшению веса тела в жидкости из-за силы Архимеда.

Вот так в дискуссию заочно вступил  Архимед. Опускаю довольно значительну часть обмена репликами, в результате которых сформировалось два подхода к проблеме. Если уподобить силу, действующую на обкладку, с гирей, подвешенной на пружине, уменьшение натяжения пружины при погружении в диэлектрик, объясняется :

а). действием выталкивающей силы (Архимед).   Оппонент

б). уменьшением силы тяжести. Ark

 
3. Вчем различие между жидким и твердым диэлектриками?

Как уже отмечалось, привлечение Архимеда в конденсатор показалось мне весьма сомнительной идеей. Как можно применять, например, понятие давления со стороны жидкости к точечным зарядам, не имеющим геометрических размеров (практически – просто малых, но могущих изменятся на много порядков...). Кроме того, совсем не обязательно погружать пластины полностью в жидкость. Достаточно заполнить жидкостью зазор... И, наконец, что происходит в момент отвердевания жидкого диэлектрика? Вот как рассматривает ситуацию Оппонент:

   Оппонент  Пусть пластины удерживаются от сближения пружиной. Пружина растянута. Если мы теперь поместим кондер в диэлектрическую жидкость, то давление жидкости вне конденсатора окажется больше давления жидкости внутри конденсатора(см. Пановского-Филипс). В результате растяжение уменьшится - вот тебе и уменьшение силы в эпсилон раз. А с твердым диэлектриком такого не будет. Тут ситуация аналогична табуретке, о которой я говорил.

Тут имеется в виду перераспределение усилия между внешней связью, удерживавшей обкладку конденсатора, и твердого диэлектрика, заполняющего зазор.

   На этом этапе дискуссии я понял, что для ее продолжения необходимо более строго определить понятия, вокруг которых ведется спор.

4. Два различных силовых состояния конденсаторов и основные определения.

Итак, я предложил определение сил между пластинами конденсатора для двух принципиально различных случаев:

а) для конденсаторв с частичным заполнением (по ширине) зазора, а также с воздушным, вакуумным или жидким заполнением зазора –

Определение 1.

Сила, действующая на обкладку, равна силе, которая уравновешивает "стремление " пластин соединиться.

Такая сила может быть измерена динамометром, удерживающим одну из пластин, если вторая жестко закреплена. На рис. 1 представлена схема конденсатора с частичным заполнением зазора. Серым цветоом окрашены обкладки конденсатора, голубым и желтым – диэлектрики. D – динамометр, непосредственно измеряющий интересующую нас силу.

Совершенно понятно, что такая схема непригодна для измерения силы, действующей на обкладку при полном заполнении зазора. Задача делается просто статически неопределимой и поэтому:

б) для случая полного заполнения твердым диэлектриком –

Определение 2.

Сила, действующая на обкладку равна произведению давления обкладки на диэлектрик умноженному на площадь обкладки.

Такая сила в принципе может быть измерена по степени упругой деформации диэлектрика. Иными словами, в случае б) силоизмерительным прибором может быть сам диэлектрик.

На рис. 2 представлен конденсатор с твердым диэлектриклм. Рис 2, а)  - кондесатор заряжен и на обкладку действует сила F=p*S, где р – давление (механическое напряжение) в диэлектрике,  S – площадь обкладки. На рис 2, б) представлен тот же конденсатор, но незаряженный, а силу давления на диэлектрик создает груз P=F. Совершенно очевидно, что в первом и втором случае диэлектрик сжат в одинаковой степени, поэтому по степени сжатия можно определить интересующую нас силу, в том числе в виде эквивалентного груза.

5. Что дает определение силы?

  По крайней мере ситуация а) достаточно ясна. Для определения силы необходимо знать напряженность поля вблизи обкладки. Если там воздух или вакуум – напряженность  вблизи пластины такая же, как и в случае отсутсвия всякого диэлектрика в зазоре. Сила, действующая на пластину, будет определяться соотношением:

F0=q^2/(2*S*Eps0)                                     (1);

Очевидно, что если с обкладкой контачит жидкий или газообразный диэлектрик,

сила,  действуюшая на обкладку, будет определяться соотношением:

F=F0/Eps                                                  (2);

Этот же подход дает аналогичное значение и для вычисления сиды давления на твердый диэлектрик при полном заполнении.

Однако Оппонент с таким подходом не согласился. Он привел убийственный, с его точки зрения, аргумент (см. п.1). И предложил решить задачу:

   Оппонент : Однако, я рассматриваю не такую ситуацию. Диэлектрик твердый и находится только внутри конденсатора. Ни о какой однородности уже говорить нельзя. В этом случае сила считается как в вакууме.
Если сомневаешься, разреши парадокс.
Кондер с зарядом Q. Между обкладками 2 диэлектрика. У одной обкладки один с эпс1, у другой другой с эпс2. Найти силу взаимодействия пластин.

6. В дискуссию вступают Ньютон и «сопромат».

    Почему, однако, «парадокс»? А все дело в том, что, если пользоваться для расчета давления обкладок в конденсаторе с двухслойным диэлектриком соотношением (2),  получим, что давления, оказываемые обкладками с двух сторон на двухслойный диэлектрик, в общем случае разные!

F1=F0/Eps1;      F2= F0/Eps2                                                     (3)

Возникает вопрос: каким же образом диэлектрический сэндвич остается в равновесии? Иными словами, создается впечатление, что нарушается первый закон Ньютона (сила действия равна силе противодействия).

   Оппонент : Есть у нас 2-хслойный диэлектрик. Сила, действующая со стороны левой пружины на правую равна напряженности поля, создаваемой левой пружиной, умноженной на заряд правой. С моей точки зрения эта напряженность равна просто Е/2. С твоей, очевидно, Е/2эпс2. Сила, действующая со стороны правой на левую в свою очередь по твоему должна быть равна Е/2эпс1. И никакими напряжениями диэлектрика этого не исправишь. Или покажи - как.

 

А действительно, хотя бы в принципе, возможно ли такое?

7. Первая силовая модель конденсатора с двухслойным диэлектриком.

Первая механическая модель конденстора была построена очень быстро и однозначно показала: неравенство давлений под обкладками возможно!

На рис. 3. представлена такая модель. Серым цветом здесь обозначены «обкладки», голубым – «диэлкетрик». Обкладки притягиваются к диэлектрику пружинами, причем F1<>F2. В дальнейшем была построена гораздо более точная модель, но до нее еще предстояло дойти... Оппонента такая модель, конечно же, не убедила...

   Оппонент : Пример с деталью не совсем корректен. Здесь каждый диск взаимодействует с деталью и так же с ней взаимодействовал бы при отсутствии другого диска. Эта аналогия работала бы, если бы диэлектрик сам был заряжен и мог бы независимо притягивать обкладки. Да и не взаимодействуют диски между собой никак. Но диэлектрик нейтрален. Сам по себе он поля не создает и обкладки не притягивает. Обкладки притягиваются друг к другу через диэлектрик - как если через деталь насквозь пропустить пружину и соединить цилиндры. В такой ситуации сила давления обоих цилиндров на деталь будет одинакова.
Иначе распиши все внешние силы действующие на деталь и объясни, почему она покоится (в твоем примере сила давления уравновешивается натяжением соответствующей пружины).

8. Энергосиловые диаграммы конденсатора с n-слойным диэлектриком.

   Для того, чтобы разобраться с силами в конденсаторе с двухслойном диэлектриком, я после нескольких неудачных попыток, нашел красивый графический способ расчета сил и энергий в многослойном диэлектрике. Назовем его условно «энергосиловыми диаграммами» (ЭСД).

   На Рис. 4 представлены примеры ЭСД для конденсаторов с двух (а) и –многослойным (б) диэлектриками.

Как строится ЭСД?  В принципе, по оси ординат надо откладывать мех. напряжения. Но поскольку между напряжением и силой разница только в множитель S, можно позволить себе отложить вдоль оси единицы силы. Вычисляем силу F0, действующая между обкладками конденсатора, если в зазоре – вакуум (1). Обращаю внимание, сила это не зависит от параметра d.
Тогда высота левой и правой стрелок  будет соответственно

 

F1=F0/Eps1;      F2= F0/Eps2

Стрелки на диаграмме - силы, действующие на обкладки и между слоями диэлектрика. На самом деле они направлены поперек зазора конденсатора. Но на диаграмме их удобно рассматривать именно так, как они изображены. (считаем, что стрелка "вверх " отображает силу вправо, стрелка "вниз " отображает силу влево).
Теперь посмотри на ломанную линию. Она замкнута (по ординатам), тоесть сумма сил, действующих на диэлектрик, равна нулю. А это значит, система в равновесии .  Общее правило построения ЭСД таково. Каждому слою диэлектрика на ЭСД  будет соответствовать прямоугольник высотой

F(i)=F0/Fps(i)

и шириной, соответствующей ширине слоя.

ЭСД обнаруживает ряд любопытных свойств. Прежде всего, это коммутативность, тоесть возможность произвольным образом комбинировать слои диэлектрика без нарушения равновесия системы. Кроме того, как нетрудно показать,  площадь под диаграммой - энергия, запасенная в поле конденсатора. И таким образом получаем очень простой способ разобраться с любым слоеным диэлектриком. Каждому слою соответствует определенная высота прямоугольника на графике, изображающая механические напряжения в слое (или соответствуюие силы), а площадь – энергию, запасенная именно в этом слое.
Теперь проверим еще, а что покажет ЭСД для диэлектрика не заполняющего весь зазор? Для этого надо лишь заполнить пустую часть зазора формальным твердым диэлектриком, у которого Eps=1 (назовем такой диэлектрик – вакуумподобным). И получим, что на обкладку возле зазора действует сила F0! Что и следовало ожидать.
Ark: Таким образом, все стыкуется лучшим образом, никаких сил Архимеда не привлекается, никаких парадоксов нет и это подтверждает мой вывод о том, что и твердый диэллектрик, заполняющий весь зазор, уменьшает силу, действующую на обкладки в Eps раз.

 

8. Уточненная силовая модель конденсатора с двухслойным диэлектриком.

    Однако мои построения оппонента не убедили. Поэтому я привел числовой расчет для двухслойного конденсатора, у которого слева обкладка давиь с силой 4, а справа – 2.4 N. На это последовал ответ:

   Оппонент : А мне все же кажется, что парадокс у тебя будет. Если я правильно понял твои рассуждения, то на левую обкладку действует сила давления, условно равная 4. На правую обкладку действует сила, условно равная 2.4. По третьему закону Ньютона на диэлектрик действует сила давления левой обкладки 4. Правой - 2.4. Результирующая внешняя сила, действующая на диэлектрик, отлична от нуля, но он покоится. Второй закон Ньютона нарушен. Аналогия с деталью не прокатывает. Там сила, с которой левый диск давил на деталь, уравновешивалась силой упругости пружины, приложенной к детали( а не к другому диску). А здесь все-таки взаимодействуют обкладки. Или тебе надо признавать, что не обкладки притягиваются друг к другу, а диэлектрик(нейтральный, поле вне диэлектрика равно нулю) притягивает каждую из обкладок с разной силой, так что говорить о силе притяжения обкладок вообще нельзя в этом случае, надо говорить о силе притяжения каждой обкладки к чудо-диэлектрику, только тогда непонятно, зачем вообще другая обкладка. Не нравится мне это.

 

Последовавшая за этим полемика была долгой и напряженной, но в конечном счете привела к лучшему пониманию распределения сил в конденсаторе и построению уточненной модели последнего. Привожу одно из моих промежуточных выступлений.

Ark: Представь себе, что между слоями диэелектрика стоит 2 тончайщие металлические обкладки, контактирующие между собой. Их общий заряд - 0 (+q-q). Тогда наш конденсатор распадается на 2 последовательных, у которых диэлектрик однородный. Построй диаграммки для двух таких конденсаторов и увидишь, что они ОБЕ уравновешены. Тоесть их можно спокойно поставить рядом, и сер Исаак никаких претензий к нам иметь не будет. Теперь утончаем эти дополнительные обкладки до их полного исчезновения. Что принципиально изменилось? ничего. Склей диаграммки. Что получилось? А получилась диграмма даухслойного конденсатора.
На границе раздела сред есть перепад давлений. На эту площадку действует разность сил притяжения от обкладок, которая компенсируется разностью давлений ( мех. напряжений) в диэлектриках. Все в равновесии. Ньютон может спать спокойно...

На этом этапе дискуссии мне стало ясно, что конденсатор с многослойным диэлектриком можно представить как несколько последовательно включенных конденсаторов с однослойным диэлектриком. Эти «субконденсаторы» внутренне сбалансированны, хоть в каждом из них действует свое давление. При этом каждый соседний субконденсатор выполняет роль обкладки для предыдущего. Между такими слоями действуют силы, «склеивающие» эти слои вместе, но не оказывающие влияние на внутреннее давление слоя...

Оппонент трпбовал предоставить доказательства того, что двухслойный конденсатор остается в равновесии, несмотря на различное давление в слоях диэлектрика. Привожу одно из выступлений Оппонента:

   Оппонент : Нам соверщенно не важно, какие внутренние силы действуют между слоями диэлектрика. Эти силы внутренние - т.е. действуют со стороны тел, входящих в систему диэлектрик. Они компенсируются - левый слой действует на правый, правый с ТАКОЙ ЖЕ силой давит на левый.
Ты рассмотри внимательно, какие ВНЕШНИЕ силы действуют на диэлектрик. Т.е. силы со стороны внешних тел. Этих сил только 2 - давление левой и правой обкладки. Они обязаны быть равны, чтобы диэлектрик не двигался. Или ты вводишь какие-то дополнительные внешние силы(не давление между обкладками), но не говоришь, какие, или Ньютон переворачивается.
А с диаграмками я не понял. Ну, рассмотрим один слой. По твоим диаграмкам получится, что слева сила 4, справа - 1.6 - какое же здесь равновесие? Или ты к этой силе хочешь прибавить давление правой обкладки??? Так я с этим не согласный!
Давай так - распиши, пожалуйста внешние силы, действующие на каждый слой диэлектрика и весь диэлектрик в целом.
Например, левый слой. Вправо - давление пластины=4, влево - давление левого слоя=1.6 и т. д.

 

 Можно рассмотреть равновесие любой плоскости ( параллельной обкладкам) в системе. Особый интерес представляет именно плоскость контакта диэлектриков. На нее действуют силы от обкладок конденсатора, а также давления в диэлектриках.  Можно воспользоваться механизмом, представленым на рис 5, а). 

F=P1-P2-F1+F2 = 4-2.4-4+2.4=0,

где P1, P2 – давления в диэлектриках, F1, F2 – силы, действующие на плоскость контакта. Результат показывает, что площадь контакта (как и любое другое сечение) находится в равновесии.

   Модель конденсатора можно значительно упростить, если произвести «стыковку», или объединение силовых линий, приходчщих на площадь контакта с двух сторон. Так приходим к модели Рис 5, б), которую можно считать в определенном смысле окончательной.

Для такой модели то же уравнение равновесия примет вид:

F=P1-P2-(F1+F2) = 4-2.4-1.6=0.

Обмен репликами и выкладками продолжался еще довольно долго. Похоже, в конце концов мне удалось убедить оппонента в том, что в конденсаторе с двухслойным диэлектриком механические силы находятся в равновесии. Но дальше дискуссия мзменила направление...

9. Заклиненный конденсатор.

   Поворот в дискуссии произошел после формулиравки «задачи с клином»:

Ark:  А знаешь что? я предлагаю тебе решить задачку. Пусть диэлектрик имеет вид тонкого длинного клина с малым углом (а<0.01). Обе обкладки плотно прилегают к клину и клин передвигается (на X mm)  без трения, раздвигая обкладки . Вопрос: какова работа сил, переместивших клин? Какова энергия, запасенная в конденсаторе? Недостающими данными можешь задаться сам...

Серым цветом, как всегда, обозначены обкладки, желтым – диэлектрический клин. Верхняя обкладка может передвигаться только в вертикальном направлении.

 Идея  задачи проста. С одной стороны, у нас получился простейший подъемный механизм. Если клин задвигается силой F,  механизм поднимает груз весом P=ctg(a). Если по горизонтали работа выполнялась на пути X, то  из закона сохранения энергии следует

                            F*X=P*X*tg(a)=P*d;

Сила P может быть просто весом соответствующей гири... С другой стороны, если известна работа, может быть определена также сила P:

                                     P=W/d.

Теперь представим себе, что обкладки заряжены. Задвигая клин, мы также раздвигаем обкладки и выполняем работу. В данном случае важно то, что работу выполняемую на раздвижение пластин, легко определить из соответствующих формул электродинамики:

                             W=q^2/2*C= d*q^2/(2*S*Eps0*Eps);

Поскольку сила, с которой обкладки аналогичного конденсатора взаимодействуют в вакууме

                    F0=q^2/(2*S*Eps0),  W=d*F0/Eps.

тоесть в Eps раз меньше! Что и требовалось доказать...

Если же кто-то утверждает, что сила, с которой давит обкладка, больше, он должен объяснить, какова будет горизонтальная сила? Какова ее работа? Почему не сходится баланс работ?

    Я считал, что привел неопровержимые доказательства. Привожу выдержки из реплик, которыми обменялись мы с Оппонентом:

   Оппонент : С клином пока загадка.:-( Единственное, что меня утешает, что у меня работа внешней силы по крайней мере больше, чем изменение энергии эл. взаимодействия. Если бы была меньше, точно была бы труба.

Ark:  Почему вообще возникло недоразумение? Я думаю, причина в том, что некто в свое время не смог построить в своей голове удовлетворительную модель силового состояния сложного диэлектрика. Возможно, этот кто-то также очень не любил сопромат:)) Поэтому он остановился на примитивной модели, где через весь «сендвич» конденсатора действует одна сила... Для жидкого диэлектрика пришлось скрепя сердце признать, что сила меньше. А куда денешься? Ведь зарядка энергией происходит прямым раздвижением пластин, и тут все ясно. А вот с твердым диэлектриком такой процесс как будто невозможен (так считал «авторитет»)!
Как объяснить разницу между твердым и жидким диэлектриком? Вот тут «авторитет» привлек Архимеда, благо, что тот не может протестовать...
Но «авторитет» ошибся! Есть процесс разведения пластин с твердым диэлектриком! И это - как раз наш диэлектрический клин... И анализ энергетики процесса четко показывает: обкладка давит на твердый диэлектрик с силой F0/Eps.

Но оказалось, что это еще далеко не конец дискуссии...

9. Поднимаясь по наклонной плоскости...

 Оппонент предложил взять в качестве подъемного механизма наклонную плоскость. В принципе, никакой разницы быть не должно.  Вместо задвигания клина будем поднимать груз по наклонной плоскости. При этом, с одной стороны, будет выполняться работа против скатывающей силы F,

с другой – против силы тяжести P.  Эти работы равны, т.е.

                F*l*=P*d,  d=l*sin(a),  F=P*sin(a).

Тоесть, пользуясь той же логикой, что и в задаче с клином, находим

 

                                P=F0/Eps.

На рис. 7 представлена «диэлектрическая» наклонная плоскость для заряда конденсатора...

Однако оппонент привел другие соображения.

В предельно кратком изложении они сводятся к тому, что вектор напряженности поля при переходе через границу раздела двух диэлектриков претерпевает преломлемление. При этом тангенциальная составляющая равна

                     Fl=(F0/Eps)*sin(a)  

а нормальная составляющая -

                     Fn=F0*cos(a).

Тогда получается, что работа против скатывающей силы неотличима от той, которая получается для наклонной плоскости в ее классическом варианте, а сила нормального давления как будто равна соответствующей силе в вакууме. На Рис. 8. представлен рисунок, выполненный собственноручно Оппонентом с прилагаемым комментарием.  После этого дискуссия вышла на новый виток...

U=U(H2-H1)  H2-H1=Lsin(a) =>U=U(L) U=L*Fx=L*Fx0/έ=U0/ έ

Видим, что при данном изменении  расстояния  H, потенциальная энергия является однозначной функцией диэлектрической проницаемости клина. Изменение Н никак не зависит от положения клина в пространстве, которое само по себе изотропно. Чтобы убедиться в этом, можно перевернуть монитор или встать на голову.

  Что можно было возразить Оппоненту? Его позицию нельзя считать ни нелогичной, ни необоснованной... Вызывает сомнение трактовка границы раздела диэлектрика и металла как «диэлектрик – вакуум». Однако главная причина, по которой я не мог согласиться,  -  изложенная концепция не проходит проверку гирей! Напомню, что именно гиря создает известную точно нагрузку, которой заменяется действие электрических сил в конденсаторе. Вот кратко мои возражения:

Ark: Я не рассматриваю твои предпосылки, но в конце ты заявляешь: Сила - F'=F0=F*Eps. А сила подъема вдоль наклонной плоскости - та же, что и у меня! Ага, говорю я,  но если сила больше, значит энергия должна не сохраняться? Нет, говорищь ты, все сохраняется. Значит, говорю я можно разрядить пластины и поставить на обкладку гирю F=F*Eps,  ее можно уравновесить силой Fl?  Нет, отвечаешь ты. Почему? А потому, что сила, полученная мной, не вертикальна, отвечаешь ты. ....

При этом возникает множество трудноразрешимых вопросов. Можно ли в условиях, когда сила действует на наклонную плоскость не по нормали к основанию, использлвать плоскость по назначению, т.е в качестве подъемного механизма? Очевидно, нет: законы наклонной плоскости справедливы только тогда, когда угол наклонной плоскости равен углу между силой и нормалью к основанию наклонной плоскости.

Попробуем проверить, выполняется ли закон сохранения энергии в варианте Оппонента.  Нетрудно показать, что при перемещении вдоль наклонной плоскости будет затрачена работа

W=F0*l*sin(a)/Eps.

На что затрачена эта работа? Она затрачена на преодоление проекции силы F при подъеме на высоту d, точнее,  проекции этой силы на нормаль к основанию.  Учитывая, что угол при основании наклонной плоскости мал, получим:

W’=F0*l*sin(a).

Тоесть в Eps. раз больше! Имеет место несовпадение энергий и явный парадокс. Парадокс разрешается, если наклонную плоскость повернуть, как показано на Рис. 9, б).  Из рисунка ясно, что в таком случае высота подъема оказывается не d, а d’=d/Eps. В таком случае энергии совпадают, но отличается высота подъема, что делает ситуацию несопоставимой с исходным вариантом Рис. 7.

Конечно же оппонент с таким подходом не согласился:

    Оппонент : Надо брать в качестве d не то расстояние, которое показано на рисунке 9б, а то, что показано на рисунке 9а, т.к. при развороте клина и силы внутри диэлектрика, перпендикулярные нижней плоскости, тоже поворачиваются. Я же пишу, что работа по потолку и крыше одинакова.

   Дискусиия носила затяжной характер, закончена не была. К сожалению, мы так и не дошли до модифицированной задачи (Рис. 10). В этой задаче был устранен предмет разногласий – эффект преломления силовых линий при  переходе от обкладки к диэлектрику... При этом однозначно доказывается, что сила давления обкладки на диэлектрик  уменьшается в Eps раз...

Ark: Давай еще раз прогуляемся по любимой тобой наклонной плоскости, но на этот раз к подвижной обкладке приделаем клиновидную подставку из того же диэлектрика, что и вся плоскость. Теперь сила давления обкладки направлена строго по нормали к основанию плоскости. Линии напряженности поля также строго нормальны. Мы втаскиваем заряд и выполняем работу W=F*d, где F=F0/Eps. Мы  разряжаем обкладки, ставим на верхнюю обкладку гирю весом F и повторяем упражнение. Опять выполняется точно та же работа, откуда с неизбежностью следует, что и в заряжаемом электрически конденсаторе обкладка действует на диэлектрик с силой F=F0/Eps!!!

Но надо было двигаться дальше, и поэтому я предложил электромеханическую модель конденсатора, из которой непосредственно следует искомый результат.

10. Электромеханическая модель кондкнсатора.

       Что будет, если между обкладок конденсатора ввести (не замыкая их) не диэдектрик, а проводник? Легко показать, что, если проводник не заполняет весь зазор, сила взаимодействия обкладок не изменится. Энергия же будет стремиться к нулю (при более высоком заполнении зазора). Если так, то проводник формально можно считать «абсолютным диэлектриком» с бесконечно большим Eps. На другом конце шкалы окажется вакуум с единичной диэлектрической проницаемостью. Это подталкивает к модели реального диэлектрика как комбинации «вакуумподобного» и «металлоподобного» диэлектриков. Остается проверить, насколько такая модель соответствует действительности?

Если считать, что  «металлоподобный» диэлектрик занимает S(1-1/Eps) часть площади, получим, что энергия в конденсаторе сократилась в Eps раз по сравнению с аналогичной в вакууме, сила, сжимающая обкладки, действует только на площади, соответствующей вакуумобразному диэлектрику, также окажется в Eps раз меньшей. Кроме того, обкладки «прилипают» к металлоподобному диэлектрику, т.к. на каждом стыке имеется двойной эелектрический слой. Но они его не сжимают, поскольку внутри поле отсутствует!

Все это очень напоминает ситуацию в конденсаторе с диэлектриком. И хотя с такого рода аналогиями надо быть осторожным, эта модель подсказывает путь к полной электромеханической модели...

 `

На рис 12 представлена такая модель. По аналогии с ранее рассмотренной моделью диэлектриеа, (1-1/Eps) элементарных зарядов обкладки экранированы зарядами диэлектрика. Отличие – экранировенные заряды не собраны отдельно, а равномерно распределены по площади обкладки. Элементарные заряды обозначены красными и зелеными стрелками.  Пусть из каждого элементарного заряда на обкладке исходит силовая линия – пружинка, действующая на него с элементарной силой. Если таких элементарных зарядов есть q, то q/Eps линий - пружинок пронизывают весь диэлектрик насквозь и сжимают его с силой F=F0/Eps. Остальные элементарные заряды находятся в оппозиции с противоположными по знаку зарядами из «листа» поляризованного диэлектрика (причем как с одной, так и с другой стороны диэлектрика) и связаны попарно силовыми линиями практически нулевой длины. Таких связанных пар существует q(1-1/Eps) c каждой стороны обкладки. Совершенно очевидно, что каждая такая пара образует уравновешенную систему и никакого давления на нижние слои диэлектрика не оказывает. А в итоге каждая обкладка давит на диэлектрик с силой только СКВОЗНЫХ пружинок, т.е. с силой F0/Eps.  А что делают q(1-1/Eps) связанные пары? Давления на нижение слои диэлектрика они не оказывают. Можно ли их взаимодействие расценивать как силу вообще? Вспомним определение силы, а главное, какое действие оказывает сила? Сила или ускоряет массу, или деформирует упругое тело. Легко видеть, что связанные пары зарядов ни того, ни другого действия не оказывают, поэтому под классическое определение силы не подпадают. Не подпадают они и под принятое нами определение. Но все-таки их также нельзя полностью сбрасывать со счета! Их действие в какой-то степени аналогично силам сцепления, или адгезии... Это похоже на силы при склеивании. Или можно воспользоваться аналогией (не очень точной) с постоянным магнитом: магнит может крепко примагнититься к чаше весов, но весы не покажут никакого увеличения веса. А как можно почувствовать эти самые связанные пары? Для этого достаточно попробовать оторвать обкладку от диэлектрика. По мере увеличения отрывающего усилия давление, оказываемое обкладкой на диэлектрик, будет уменьшаться, пока не достигнет 0 при отрывающей силе F=F0/Eps. Однако обкладка еще не оторвется! Для отрыва необходимо преодолеть взаимодействие связанных пар зарядов. И только тогда, когда отрывающая сила достигнет Fо=F0, произойдет отрыв, т.е. силовые линии бывших связанных пар нечнут удлиняиться. С некоторым удивлением я константирую, что оставшийся в зазоре диэлектрик окажется РАСТЯНУТЫМ силой F=F0*(1-1/Eps)!

     А вот в жидком диэлектрике при разводе пластин связанные пары образуются прилипшими молекулами диэлектрика и при раздвижении движутся вместе с пластинами (без сил Архимеда) и не меняют ни силы, ни работы.

Вывод. Если сформулировать вопрос задачи так: с какой силой давит обкладка на диэлектрик? Ответ будет F=F0/Eps. Если сформулировать вопрос так: с какой силой надо тянуть обкладку, чтобы оторвать ее от диэлектрика? Ответ будет F=F0.

.  Тем самым намечается некий компромисс с Оппонентом: вопрос можно перевести в плоскость формулировки условий задачи...

11. Назад, к электрическим истокам....

  Не тут-то было! Оппонент ни на какие компромиссы не идет и требует разъяснений...

   Оппонент : Твоя механическая модель никак не хочет согласовываться с электродинамикой.Во-первых, если меняется напряженность поля, то должна меняться плотность заряда.
E=4Pi*Sg(SGS).
Если же напряженность поля меняется, и заряд меняется, то сила взаимодействия, равная qE, уменьшается в эпсилон квадрат раз. Я же тебе говорю, что есть принципиальное различие между твоими пружинами и взаимодействием зарядов.
С пружинами все гладко. Было 100 пружин, вставили диэлектрик - 90 пружин обрезали и закоротили, осталось 10 пружин. Значит, сила внутри диэлектрика в 10 раз уменьшилась, и сила тяги пружинами обкладок в 10 раз уменьшилась. Но вот с электричеством так не пройдет. Сила определяется напряженностью – раз (количество пружин) и зарядом другой обкладки - два. Это уже пружинами не показывается. Если не веришь, то вопрос - какое уменьшение силы дает пружинная модель, если мы не вставляем диэлектрик, а просто в 10 раз уменьшаем заряд каждой обкладки? И во сколько раз ослабляется сила, действующая на пробник в кондере.
Ответ должен быть - в сто раз, а уменьшение силы на пробник - в 10 раз. Пружинная модель даст и для одной и другой силы - 10 раз.
Так где адекватность?

Приходится возвращаться, так сказать, к истокам, к электродинамике. Но в процессе дискуссии я уже делал это. Я определил, что собой представляют эти самые «пружинки» с электрической точки зрения. Возьмем выражение (1) для силы в вакууме:

F=q^2/(2*S*Eps0)                                     (1);

и выполним подстановку Sg=q/S. Получмм:

F=S*Sg^2/(2*Eps0);                                   (3);

После диффиринцирования по площади получаем:

dF/dS= Sg^2/(2*Eps0)                             (4);

Получившееся соотношение можно считать натяжением единичной пружинки для конденсатора в вакууме. Как видно, натяжение это, как и общая сила в вакууме является функцией квадрата плотности заряда. Поэтому на первый из вопросов оппонента ответ: в 100 раз.

Частичное экранирование заряда НЕ МЕНЯЕТ его плотности на обкладке. Поэтому натяжение единичной пружинки также не зависит от типа или толщины диэлектрика между обкладками. Но уменьшение количества единичных пружинок , проходящих сквозь диэлектрик, пропорционально уменьшает силу, сжимающую обкладки.Согласно модели, число единичных пружинок уменьшается в Eps раз, откуда следует, что обкладка давит на диэлектрик с силой натяжения оставшихся пружинок – F=F0/Eps!

Какова плотность пружинок, пересекающих поверхность параллельную обкладке? Продиффиринцируем (4) по площади:

                                 d2S/ds^2=2*Sg/(2* Eps0) = Sg/ Eps0=E0.   (5).

То, что получилось, представляет собой знакомую нам напряженность электрического поля в конденсаторе. А раз так, мы, наконец понимаем физический смысл «пружинок» из модели. Это обычные фарадеевские силовые линии, плотность которых по определению равна напряженности поля.

Кстати, это дает ответ на второй вопрос Оппонента: поскольку напряженность пропорциональна первой степени плотности заряда, уменьшение последней в 10 раз приведет к такому же уменьшению силы на пробный заряд...

     Какова же будет напряженность поля ВНУТРИ диэлектрика? Помня, что напряженность – плотность силовых линий и учитывая, что количество линий, пересекающих сечение диэлектрика, сократилось в Eps раз, получаем, что

                                 E=E0/Eps,

что и следовало ожидать. Таким образом, электромеханическая модель ни в чем не противоречит электродинамике.